动态规划解0 1背包问题

问题描述

给定N个物品和一个背包，物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为。应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包的物品的总价值为最大？

问题分析

令V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值，则可以得到如下的动态规划函数:
(1) V(i,0)=V(0,j)=0
(2) V(i,j)=V(i-1,j) jwi
(1)式表明：如果第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包；第(2)个式子表明:如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：(a)如果把第i个物品装入背包，则背包物品的价值等于第i-1个物品装入容量位j-wi 的背包中的价值加上第i个物品的价值vi; (b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。显然，取二者中价值最大的作为把前i个物品装入容量为j的背包中的最优解。

#include<stdio.h>
int V[200][200];//前i个物品装入容量为j的背包中获得的最大价值
int max(int a,int b)
{
   if(a>=b)
       return a;
   else return b;
}
int KnapSack(int n,int w[],int v[],int x[],int C)
{    
    //V(i,j)表示在前i(1<=i<=n)个物品中能够装入容量为就j(1<=j<=C)的背包中的物品的最大价值
    int i,j;
    for(i=0;i<=n;i++)
        V[i][0]=0;
    for(j=0;j<=C;j++)
        V[0][j]=0;
    for(i=0;i<=n-1;i++)
        for(j=0;j<=C;j++)
            if(j<w[i])            //当前货物的质量大于背包的容量
                V[i][j]=V[i-1][j];
            else                //当前货物的质量小于背包的容量，则判断当前货物的能否放入已经装有货物的背包
                V[i][j]=max(V[i-1][j],V[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            j=C;
            for(i=n-1;i>=0;i--){
                if(V[i][j]>V[i-1][j]){
                    x[i]=1;        //选中记为1
                    j=j-w[i];
                }else
                    x[i]=0;
            }
            printf("选中的物品是:\n");
            for(i=0;i<n;i++)
                printf("%d ",x[i]);
            printf("\n");
        return V[n-1][C];
}
void main()
{
    int s;            //获得的最大价值
    int w[15];        //物品的重量
    int v[15];        //物品的价值
    int x[15];        //物品的选取状态
    int n,i;
    int C;            //背包最大容量
    n=5;
    printf("请输入背包的最大容量:\n");
    scanf("%d",&C);

    printf("输入物品数:\n");
    scanf("%d",&n);
    printf("请分别输入物品的重量:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&w[i]);

    printf("请分别输入物品的价值:\n");
    for(i=0;i<n;i++)
        scanf("%d",&v[i]);

    s=KnapSack(n,w,v,x,C);

    printf("最大物品价值为:\n");
    printf("%d\n",s);
}